А.В. Погорелов родился в г. Короча (Белгородская область). Окончил Харьковский государственный университет (ХГУ, 1937-1941) и Военно-Воздушную Академию им. Н.Е. Жуковского (Москва, 1941-1945). С 1945 года работал в ЦАГИ и одновременно учился в заочной аспирантуре по специальности "геометрия и топология" при Московском государственном университете. Учителями А.В. были известные математики и педагоги, создатели отечественной научной школы геометрии "в целом" профессора Н.В. Ефимов и А.Д. Александров. Защитив кандидатскую, а через год и докторскую диссертации, он возвращается в Харьков (1947), где вскоре возглавляет кафедру геометрии в ХГУ. В 1960 году А.В. переходит в Физико-технический институт низких температур АН Украины (ФТИНТ), в котором он по настоящее время руководит отделом геометрии в Математическом отделении. В 1951 году А.В. избирается членом-корреспондентом, в 1960 г. - академиком АН Украины, с этого же года он - член-корреспондент, а с 1976 г. - академик АН СССР.

Яркое математическое дарование и незаурядный инженерный талант определили широкий круг научных интересов А.В. Погорелова, охватывающий как фундаментальные, так и прикладные направления. Ему принадлежат решения ряда ключевых проблем в геометрии "в целом", в основаниях геометрии, в теории уравнений Монжа-Ампера, а также замечательные результаты по геометрической теории устойчивости тонких упругих оболочек. Уже первое глубокое исследование А.В. -- решение восходящей к О. Коши, Д. Гильберту и С.Э. Кон-Фоссену трудной проблемы однозначной определенности общих выпуклых поверхностей их метрикой -- выдвинуло его в число ведущих представителей мировой науки. Это научное достижение вызвало качественный подъем в теории нерегулярных поверхностей, начала которой незадолго до этого были заложены А.Д. Александровым. Оно определило приоритеты этой теории на десятилетия вперед.

В дальнейшем А.В. Погореловым были решены и другие сложные проблемы геометрии "в целом", в частности, проблема регулярности выпуклой поверхности с регулярной метрикой, проблема Вейля о реализуемости выпуклой метрики для римановых пространств, проблема бесконечно малых изгибаний выпуклых поверхностей, проблема несобственных выпуклых аффинных гиперсфер. Им было также получено полное решение четвертой проблемы Гильберта и регулярное решение многомерной проблемы Минковского. Эти работы стимулировали создание нового обширного раздела математических исследований -- внешней геометрии выпуклых поверхностей, логически завершившего и дополнившего теорию А.Д. Александрова --внутреннюю геометрию выпуклых поверхностей. Они утвердили теорию выпуклых поверхностей как раздел классической дифференциальной геометрии. Им построена теория поверхностей ограниченной внешней кривизны (1956), разработана общая геометрическая теория уравнений Монжа-Ампера для трехмерного (1960) и многомерного (1983) случаев, существенно расширена теория G-пространств Г. Буземана (1998).

Совсем недавно А.В. Погорелов нашел полное решение еще одной важной проблемы, доказав равенство дважды дифференцируемых замкнутых выпуклых поверхностей с положительной гауссовой кривизной, второй дифференциал разности опорных функций которых есть знакопеременная форма или тождественно равняется нулю. Эта теорема для случая аналитических поверхностей была установлена еще в 1939 г. А.Д. Александровым. Неоднократные попытки ослабить условие аналитичности до естественного требования дважды дифференцируемости оказывались безуспешными вплоть до 1999 г.

Нужно отметить, что во многих из этих исследований А.В. Погореловым был проявлен исключительный талант не только геометра, но и блестящего аналитика.

А.В. Погорелов развил оригинальный геометрический подход к проблемам устойчивости тонких упругих оболочек и поставил ряд прецизионных экспериментов, подтверждающих его теорию. Он одним из первых исследователей в СССР (1970) предложил новую идею конструкции синхронного криотурбогенератора со сверхпроводящей обмоткой возбуждения, что послужило толчком в развитии криогенного машиностроения в стране. В дальнейшем А.В. принимал активное участие в теоретических расчетах и технических разработках промышленных вариантов криотурбогенераторов, выполнявшихся во ФТИНТ.

А.В. Погореловым написаны многочисленные монографии, учебники по основным разделам геометрии для высшей школы и известный учебник по геометрии для средних школ, который с 1982 г. является действующим в массовой школе. Книги А.В. изложены ясным и чётким языком. Они выдержали большое количество изданий в разных странах.